四面体的外接球怎么找球心？

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正四棱锥有8条棱，棱长为a，底边是正方形，侧面是正三角形。

如果有一个外接球，那么它的球心到正四棱锥5个顶点的距离一定相等，且都是r。

可想而知，这个球心在正四棱锥底面的投影一定是在正方形的中心，(因为要对称)。

话分两头说，这个中心和顶点的连线恰是正四棱锥的高h，而且，所谓的球心也一定在这条高上。那个中心(正方形底面的中心)到底面4个顶点的距离均是(√2)a/2，棱长为a，那么和高h组成的直角三角形，可以算出高h=√{a?-[(√2)a/2]?}=√(a?/2)=(√2)a/2。

现在，球心到顶点的距离是r，在刚才的解析的那个直角三角形中，球心把高h那条直角边分成两份，球心到底面的距离l=h-r=(√2)a/2-r，球心、正四棱锥底面的顶点以及底面的中心组成的三角形，斜边长为r(球心到四棱锥底面顶点的距离)，直角边分别为(√2)a/2和l=(√2)a/2-r，勾股定理有：

r?=[(√2)a/2]?+[(√2)a/2-r]?

r?=a?/2+a?/2-(√2)ar+r?

a?-(√2)ar=0

a≠0，∴a-(√2)r=0，r=(√2)a/2(这个结果说明正四棱锥外接圆的球心就是底面的中心。)

现在a=6，即r=3根号2

直四棱锥的特点如下：

1、棱与底面：直四棱锥有四条侧面的棱，这些棱在它们相互之间垂直的情况下，形成了一个正方形底面和一个顶点。

2、面：直四棱锥总共有五个面，其中四个是平行的三角形侧面，而另一个是正方形底面。所有的侧面都会在直线上相交于同一个点，即锥的顶点。

3、角：直四棱锥具有五个角。

4、对称性：直四棱锥具有轴对称性，即它可以沿着其中一个侧面的中心垂线被分成两半，每一半都是镜像对称的。

5、顶点角度：直四棱锥的顶点角度为120度。

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